«Оптимальный транспорт и его применение», 28-31 мая, 2018
Преподаватель: Дарина Михайловна Двинских (МФТИ, СколТех)
В кратком курсе будет представлена задача оптимального транспорта Монжа-Канторовича, её история и развитие. Также на базе этой задачи, определяющей оптимальное планирование транспортных перевозок, будет строиться теория, позволяющая использовать оптимальный транспорт для сравнения сложных объектов (вероятностных мер). Задача имеет широкое потенциальное применения во многих областях, в частности в обработке изображений.
«Принцип максимума энтропиий и равновесия макросистем», 28 мая 2018, «Модель расчета матрицы корреспонденций», 30 мая 2018, «Задача о разборчивой невесте», 31 мая 2018
Преподаватель: Александр Владимирович Гасников (МФТИ)
На примерах задачи ранжирования web-страниц, парадокса Эренфестов и кинетики социального неравенства постараемся математически строго объяснить, что такое «равновесие макросистемы».
С помощью лекции о «Принципе максимума энтропиий и равновесия макросистем» и элементов популяционной теории игр мы расскажем о том, как получается энтропийная модель расчета матрицы корреспонденций, предложенная в конце 60-х годов А.Дж. Вильсоном и до сих поря являющаяся неизменным атрибутом любых транспортных пакетов.
В лекции не женатый докладчик будет учить других в какой момент надо жениться:) Общая стратегия такая: пропустить треть невест, а потом жениться на первой, которая будет лучше всех предыдущих (если такая будет…). Такая стратегия позволяет выбрать лучшую невесту с вероятностью близкой 1/3. Оказывается такая стратегия и будет оптимальной. Лекция будет посвящена тому, почему это так.
«Теорема Хелли и ее окрестности», 23 и 25 мая, 2018
Преподаватель: Александр Андреевич Полянский (МФТИ)
Лекции будут посвящены классической теореме выпуклой геометрии: теореме Хелли. Теорема Хелли утверждает, что если есть, скажем, сто выпуклых многоугольников (под многоугольником подразумевается объединение и границы, и внутренности) и известно, что любые три из них имеют общую точку, тогда все многоугольники будут иметь общую точку. Теорема Хелли играет большую роль в различных областях математики (выпуклый анализ, оптимизации и др.). Мы обсудим несколько красивых приложений этой теоремы, а также некоторые нетривиальные обобщения.
«Влияние в выборных органах», 14-18 мая, 2018
Преподаватель: Дмитрий Александрович Шварц (ВШЭ)
Основная идея пропорционального представительства состоит в том, что число мест в парламенте, полученное партией в результате выборов, должно быть пропорционально числу избирателей, проголосовавших за эту партию. Можно предположить, что и влияние партии должно быть пропорционально числу полученных ею мест в парламенте. Однако, в противоречии с интуицией, влияние не может быть пропорционально числу голосов.
Рассмотрим два варианта распределения голосов между тремя партиями в парламенте из 100 депутатов (для принятия решения требуется 51 голос). В первом случае все партии будут иметь почти поровну мест (скажем, 34, 33 и 33), во втором – 49, 48 и 3 места в парламенте. Тогда в обоих случаях для принятия решения необходима поддержка двух или трех партий, т.е. влияние всех партий одинаково. Но распределение голосов разительно отличается.
Цель мини-курса – рассказать, что такое влияние партии, как его считать, как можно учитывать отношения между партиями. Оказывается, что у влияния много очень неожиданных свойств, причем мы встретим их не только «на бумаге», но и в «реальных» парламентах, в том числе и в Государственной Думе РФ.
«Механизмы общественного выбора», 14-18 мая, 2018
Преподаватель: Даниил Владимирович Мусатов (МФТИ)
Со времён Великой Французской революции учёные искали идеальный способ демократического принятия решений. Рецепт представлялся в виде математической функции, которая переводит предпочтения отдельных членов группы в решение всей группы. В XX веке оказалось, что идеальной функции не существует, каждая чем-то да плоха. В курсе мы изучим различные процедуры выбора одной альтернатив из нескольких, упорядочения списка альтернатив или определения нормы представительства. В каждом случае мы докажем теорему о невозможности построения идеальной процедуры.
«Комбинаторная теория игр», 7-10 мая, 2018
Преподаватель: Даниил Владимирович Мусатов (МФТИ)
Многие математические игры строятся на простом принципе: двое по очереди делают какие-то ходы, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Как понять, кто выигрывает при правильной игре и какова выигрышная стратегия? В общем случае эта задача вычислительно сложна, но можно построить универсальную математическую теорию таких игр. Оказывается, с каждой игрой ассоциировано некоторое значение, а сами эти значения комбинируются по определённым правилам. Можно построить огромную арифметику, в которую погружаются не только действительные числа, но и ординалы, бесконечно малые значения, нечёткие величины и т.д. В мини-курсе мы познакомимся с основами этого мира.
«Многогранники», 4-5 мая, 2018
Преподаватель: Алексей Владимирович Савватеев (Университет Дмитрия Пожарского)
1. Как устроен футбольный мяч? Формула Эйлера и 12 пятиугольников.
2. Какие бывают многогранники, у которых каждая грань граничит с каждой по ребру? Комбинаторная формула Г(Г-7) = 12(g-1), где g — число дырок внутри многогранника.
3. Какие бывают правильные многогранники. Смежные классы, действия групп на множестве, конечные подгруппы, формула 2(1-1/n) = \sum (1-1/n_i).
Видеолекция «Многогранники» часть 1, Видеолекция «Многогранники» часть 2
«Задача о дележе пирога», 3-5 мая, 2018
Преподаватель: Даниил Владимирович Мусатов (МФТИ)
Предположим, что несколько агентов делят поровну некоторый неоднородный ресурс, например, участок земли. Проблема в том, что участок разнообразный, а у агентов разные предпочтения: кому-то нужно озеро, кому-то лес и т.д. Как поделить так, чтобы все были довольны? У этой задачи есть две основные постановки: пропорциональный делёж, когда каждый должен получить хотя бы 1/n, и делёж без зависти, когда каждый считает, что его кусок самый лучший. В курсе будет дан обзор методов такого дележа, а также смежных задач.
«Динамические системы. Комбинаторика. Информация. Сложность», 23-26 апреля, 2018
Преподаватель: Александр Александрович Приходько (МФТИ)
В рамках данного курса обсуждаются направления современной теории динамических систем и их приложениях к математике и computer science. Курс сопровождается задачами для самостоятельной подготовки, а по завершении курса предлагаются темы научно-исследовательских работ.
«Элементарная комбинаторика», 23-28 апреля, 2018
Преподаватель: Дмитрий Александрович Шварц (ВШЭ)
Ответ на вопрос: «Сколько вариантов?» приходится искать очень многим — от пенсионерки, забывшей и пытающейся подобрать код в подъезде, до рассчитывающего вероятности риска аналитика или страхового агента. Иногда найти ответ не просто и требуется знание науки, которая и называется комбинаторикой, но в большинстве случаев хватает знания нескольких элементарных приемов и умения их сочетать и, главное, выбирать нужный.
«Формальные языки», 21-27 апреля, 2018
Преподаватель: Максим Евгеньевич Жуковский (МФТИ)
Математики при записи множества четных чисел или, например, множества степеней числа 2 условились использовать формальную символьную запись. Подобные записи (которые могут использоваться и для символьной записи некоторых менее естественных множеств) подчиняются некоторым строгим правилам. В курсе обсуждается, какие существуют формальные языки таких записей и как они могут упростить математикам жизнь.
«Вариационные принципы», 18-20 апреля, 2018
Преподаватель: Алексей Борисович Шабат (Институт теоретической физики, Карачаево-Черкесский государственный университет)
В курсе рассматривается задача Дирихле, гармонические многочлены и скобки Пуассона в классической механике.
«Инструменты научных вычислений», 17-18 апреля, 2018
Преподаватель: Даниил Максимович Меркулов (МФТИ, СколТех)
В курсе обсуждается:
«Введение в современные численные методы выпуклой оптимизации», 17-19 апреля, 2018
Преподаватель: Александр Владимирович Гасников (МФТИ), Даниил Меркулов (МФТИ, СколТех)
На курсе рассматриваются материалы по эффективным современным численным методам решения больших задач оптимизации, возникающих в анализе данных и моделировании больших сетей. Большой акцент уделяется практической стороне. В частности, разбираются примеры на Питоне.
«Вокруг экспоненты, или как преподавать высшую математику?», 17 апреля, 2018
Преподаватель: Алексей Владимирович Савватеев (ректор Университета Дмитрия Пожарского, заместитель руководителя КМЦ АГУ)
Высшая математика и математический анализ изобилуют новыми и непривычными для простого школьника понятиями. Часто не хватает внутренней мотивации, чтобы в них не запутаться и расставить в голове по местам. Возможно, аппарат усваивается проще при наличии некой сквозной идеи, под которую потом цепочкой выстраиваются возникающие конструкции и многочисленные технические результаты. А.В. Савватеев говорит, что такая идея существует, а именно – построение экспоненты как отображения, переводящего сложение в умножение.
Видеолекция «Вокруг экспоненты, или как преподавать высшую математику?»
«Теория игр», 29 марта – 3 апреля, 2018
Преподаватель: Александр Самуилович Тонис (Российская экономическая школа)
Новый мини-курс по «Теории игр» ориентирован на начальное ознакомление с теорией игр — дисциплиной на стыке математики и экономики, изучающей взаимодействие рациональных субъектов, каждый из которых имеет свои интересы. Во время курса изучается, как перейти от неформального словесного описания игры к её математической модели, как предсказать наиболее вероятные действия рациональных игроков — их стратегии, являющиеся оптимальными ответами друг на друга. Большую часть содержания курса составляют примеры, иллюстрирующие основные понятия и результаты теории игр; теория присутствует лишь в минимально необходимом объёме.
